Tezy autora, jakoby wyuczalność matematyki była jednakowa dla wszystkich, a różnice umiejętności były wyłącznie skutkiem edukacji, nijak przyjąć nie można. Sam autor zresztą wyraźnie wcześniej jej przeczy, przywołując przypadki z uszkodzeniami mózgu. Nadto trudno na bazie tego twierdzenia wykazać, dlaczego np. Eistein czy Poincare, edukowani tak samo, jak ich rówieśnicy, tak daleko odbiegli od nich, i to już we wczesnym dzieciństwie. Nadto wiadomą jest rzeczą, iż właśnie we wczesnym okresie życia rozwój umiejętności matematycznych jest najszybszy.

Rozszerzenie liczb rzeczywistych na liczby zespolone wprowadzono dlatego ze istniała potrzeba rozwiązania równań które w dziedzinie liczb naturalnych rozwiązań nie miały. Okazało się później ze liczby zespolone dobrze oddają naturę w wielu aspektach współczesnej fizyki.
Samo zresztą pojęcie liczby naturalnej w matematyce jest wtórne wobec pojęcia zbioru, i można zdefiniować je w oderwaniu od świata fizycznego.
W świecie fizycznym istnieją obiekty które opisujemy za pomocą idealnych obiektów matematycznych, ale nikt nie mówi ze koła samochodowe są idealnymi kołami.
Istoty płynne faktycznie w początkowej fazie mogą mieć predyspozycje do innego sposobu modelowania świata. Ale matematyka nie sprowadza się do przeliczalnych obiektów. Ich matematyka kiedy dojdzie wyższego stopnia abstrakcji musi być identyczna z naszą.

Witam
Nie potrafię się zgodzić z tezami przedstawionymi przez autora w ostatnich akapitach. Struktury matematyczne istnieją wg mnie niezależnie od fizycznych ich reprezentacji. Wszechświat owszem nie składa sie z matematycznych struktur, to struktury matematyczne tworzą odrębny świat.
Wspomniana liczba pi. Można nazwać tą liczbę dowoli ale nie o nazwę chodzi, nazwa to symbol naszej kultury dla stosunku miedzy obwodem a średnicą dowolnego okręgu. Ta wartość nie zależy od żadnej kultury, wartość ta nie potrzebuje kultury w ogóle by być. Bez rozumu co prawda nie bedzie można tej relacji odkryć, ale nie zmienia to faktu ze relacja ta występuje.
Nie jest tez prawdą ze matematyka wynika z obserwacji świata. W początkowej fazie być może. Policzyć ilość owiec na pastwisku. Ale co znaczy ze na polu sa -3 owce? czy może 2i+4 owce. W późniejszym okresie rozwoju to matematyka dostarcza narzędzi do opisu świata w jego rożnych aspektach.

Drogi Panie Stanisławie! Akurat p. Freeman Great ma zupełną rację! Zarówno historycznie, jak i metodologicznie filozofia stoi przed tym, co Pan nazywa "realną nauką". A poza tym musi Pan zdać sobie sprawę, że tak naprawdę granica między filozofią a nauką nie jest wcale ustalona. Wypowiadając choćby zdanie: "Filozofia nie stwarza podwalin pod inne nauki, ale jest w stosunku do nich wtórna" uprawia Pan najczystszą filozofię. Daję to pod rozwagę i pozdrawiam :)

Jest dokładnie na odwrót.
Filozofia nie stwarza podwalin pod inne nauki, ale jest w stosunku do nich wtórna. Nie znaczy to, że uważam, że jest zbędna, ale należy sobie zdać sprawę z tego, że jej osiągnięcia, jeśli nie są oparte na rzetelnej wiedzy w innych dziedzinach, są niestety, właśnie tylko mędrkowaniem. Słynne "paradoksy" Zenona z Elei o Achillesie i żółwiu czy o strzale nie są żadnymi paradoksami dla kogoś kto wie jak sumować nieskończoną liczbę nieskończenie małych wartości, czyli dla tego kto posiadł umiejętność całkowania. Oczywiście Zenona można usprawiedliwić za ten brak wiedzy matematycznej, gdyż rachunek całkowy, będący częścią analizy matematycznej, został wynaleziony dopiero po dwóch tysiącach lat, natomiast można mu mieć za złe, że zamiast trwonić czas na wymyślanie zagadek wówczas nierozwiązywalnych, nie zajął się realną nauką. Co poddaję pod rozwagę współczesnym myślicielom.

To co autor tekstu pisze wydaje się ciekawe, tylko tak się dziwnie składa, że to co w nim jest zawarte dawno już co poniektórzy filozofowie ustalili(od pierwszych komentatorów Locke'a), antycypując wyniki rozwoju nauk o których tu napomniano. Tymczasem odnosi się wrażenie że filozofia jest tutaj co najmniej nie doceniana jeżeli nie redukowana do "mędrkowania", nie operuje precyzyjnymi narzędziami poznawczymi zdaniem autora, w przeciwieństwie do tego czym się on para zawodowo. A warto zauważyć, że gdyby nie filozofia nie byłoby rozwoju żadnej z nauk szczegółowych. Ponadto główna różnica między filozofią a naukami szczegółowymi polega na tym, że ta pierwsza po prostu nie rości sobie praw(nie wliczając niektórych filozofów- ale to nie to samo co idea filozofii)do absolutności jak te drugie, a nie -że nie w nosi żadnej pozytywnej wiedzy w przeciwieństwie do nauk szczegółowych.

warto równiez zauważyć pewien fakt - system zapisu liczb. Przyjęcie w Europie zapisu liczbowego wyrazanego liczbami arabskimi dopiero pozwoliło, by dziedziny takie jak algebra czy bardziej zaawansowana artmetyka mogły w przyspieszonym tempie się rozwijac. Wystarczy zwrócić uwagę na okres starozytnego Rzymu a potem średniowiecza, gdzie powszechnym był zapis rzymski - matematyka musiała kuleć.

Dla przykładu, możecie sobie sami sprawdzić: przedstawcie sobie liczbę PI w zapisie rzymskim w rozwinieciu do 4 i 6 liczb po przecinku. Udało się ? Mozna i z prostszą rzeczą się zmierzyć - przemnożyc przeź siebie liczby rzymskie o wartosci np. 1234 * 4321.

To może rzucić świało, dlaczego w okresie dominacji rzymskiego zapisu liczb, dziedziny takie jak arytmetyka, alebra, geometria analityczna nie były w stanie się rozwijac.

Autor wspomniał, że "chińskie dzieci brylują w uczeniu się liczenia z prostego powodu, ponieważ ich składnia liczbowa jest o wiele łatwiejsza". Czy można, więc uzasadnić pozorny antytalent matematyczny dzieci angielskojęzycznych, faktem, że ucząc się dodawania w systemie dziesiętnym nie mają "w ręku" gotowego zbioru dziesięciu jednakowych elementów. Myślę o palcach, gdyż dzieci, np. amerykańskie, w przeciwieństwie do polskich, które mają "dziesięć paluszków", uczy się, że mają "eight fingers and two thumbs". (Wg Webstera: finger is a terminal digit of the hand, esp. other then a thumb). Możliwe, że brak umiejętności dodania np. 6 do 3, ujawnia nie brak zdolności, a wprost przeciwnie, matematycznie poprawny, brak zgody na dodawanie elementów należących do różnych kategorii.

jeśli nie byłoby ludzi to owszem drzewka istniałyby nadal ale nie miałby kto ich policzyć :)

Niezależnie od tego, czy w danym lesie żyje liczący człowiek, czy go tam nigdy nie było, drzew w nim rośnie 1000 (przykładowo). Po wyrośnięciu jeszcze jednego, będzie ich 1001. Nie zmieni tego ani struktura ludzkiego mózgu, ani nasze rozmiary. Powiem więcej - mogło by nas w ogóle nie być, a drzew w lesie wciąż będzie określona liczba.

Liczba pi będzie zawsze taka sama dla wszystkich ponieważ ludzie mają podobną strukturę mózgową, ośmiornice nigdy nie 'odkryją' liczby pi prawda?

Ale czy liczba pi istnieje gdzieś niezależnie od nas jak jakaś boska istota, czy też jakiś platoński ideał to wątpię w to.
Matematyka jest po prostu dobrym językiem opisującym świat, a że pewne rzeczy zaczęliśmy nazywać i zostały one w pewien sposób powołane przez nas do życia to już jest tylko dla naszej wygody.

Łatwiej można rozmawiać o świecie jak pewne rzeczy możemy wskazać i nazwać :)

Pozdrawiam! :)

"Stąd, wiele naszych obecnych narzędzi matematycznych jest dobrze przystosowanych do świata zewnętrznego, precyzyjnie z tego powodu, iż zostały wybrane jako funkcja tego dopasowania."
a do jakiego świata miały by byc przystosowane, wewnętrznego?
inne formy zycia mialyby inną matematykę? watpie , pewne rzeczy sa uniwersalne i matematyka jest jak wszechswiat - taka jaką "zastaliśmy" , prawa rządzące wszechswiatem są niezalaezne od nas istnieja niezleznie i stad czerpie matematyka, my tylko je odkrywamy np. to ze suma kwadratow dwóch przyprostokatnych jest rowna kwadratowi przeciwprostakatnej i tak bedzie zawsze,a liczba pi bedzie taka sama dla wszystkich form życia
pozdrawiam!

"Być może ta sugestia wydawałaby się mniej absurdalna jeśli rozważymy fakt, że każdy uczeń szkoły średniej, nawet ten nie uważany za zbyt bystrego, wie tyle o matematyce co najbardziej uczeni matematycy w średniowieczu."

Z drugiej strony, każdy uczeń w szkole średniej zna matematykę sprzed prawie 200 lat, bo nic nowszego nie ma w szkole.