W swojej ostatniej książce, a także w gorącej dyskusji na forum „Edge", matematyk Reuben Hersh zadał pytanie: 'Czym naprawdę jest matematyka?' Ta stara jak świat kwestia była już omawiana w starożytnej Grecji a dwadzieścia trzy stulecia później głowił się nad nią Einstein. Osobiście wątpię czy samo filozoficzne dochodzenie da nam satysfakcjonującą odpowiedź (wydaje się, że nie możemy nawet zgodzić się co do tego czym jest samo pytanie!). Jednakże, jeśli chcemy zastosować podejście naukowe, możemy zaadresować dokładniejsze pytania takie jak, skąd pochodzą poszczególne obiekty matematyczne jak zbiory, liczby lub funkcje, kto je wymyślił i jakiemu celowi pierwotnie służyły, jaka jest ich historyczna ewolucja, jak przebiega ich akwizycja przez dzieci i tak dalej. W ten sposób możemy zacząć definiować naturę matematyki w bardziej konkretny sposób, przez co stanie się ona bardziej otwarta na dociekania naukowe wykorzystujące badania historyczne, psychologię bądź nawet neuronauki.

To jest dokładnie to, czego wąska grupa neuropsychologów poznawczych w wielu krajach wraz ze mną szukała w bardzo prostej dziedzinie matematyki, być może najbardziej podstawowej ze wszystkich: domenie liczb całkowitych naturalnych jak 1, 2, 3, 4 itd. Rezultaty bazujące na dosłownie setkach eksperymentów są doprawdy zaskakujące: nasze (ludzkie) mózgi wydają się być wyposażone od urodzenia w zmysł liczb. Arytmetyka elementarna wydaje się być podstawową, biologicznie zdeterminowaną i wrodzoną umiejętnością naszego gatunku (i nie tylko naszego, bo dzielimy ją z wieloma zwierzętami). Co więcej, ma ona specyficzny mózgowy substrat, zestaw sieci neuronowych, które są podobnie zlokalizowane w każdym z nas i które 'posiadają' wiedzę na temat liczb i ich relacji. Mówiąc ściślej, postrzeganie numerów w naszym otoczeniu jest tak fundamentalne dla nas jak echolokacja dla nietoperzy czy ptasi śpiew dla ptaków śpiewających.

Jest jasne, że teoria ta ma ważne, bezpośrednie konsekwencje dla natury matematyki. Najwyraźniej niesamowity poziom matematycznego rozwoju, który osiągnęliśmy, jest osiągnięciem unikatowo ludzkim, specyficznym dla naszego obdarzonego językiem gatunku, a w większości uzależnionym od akumulacji kulturowej. Lecz twierdzenie jest takie, iż podstawowe koncepcje będące fundamentami matematyki jak liczby, zbiory, przestrzeń, długość i tak dalej, wyłaniają się z samej architektury mózgu.

W tym sensie liczby są jak kolory. Wiemy, że nie ma kolorów w świecie fizycznym. Światło posiada różne długości fal, lecz nie są one tym co nazywamy kolorem (banan wygląda wciąż żółto nawet pod wpływem różnych warunków oświetlenia, gdy odbite fale są całkowicie zmienione). Kolor jest atrybutem tworzonym przez obszar V4 mózgu. Obszar ten oblicza relatywną ilość światła na różnych długościach fali na źrenicy i używa tej informacji do obliczenia współczynnika odbicia obiektów (jak odbijają nadchodzące światło) w różnych wiązkach widma. To właśnie to nazywamy kolorem, choć jest to czystko subiektywna cecha konstruowana przez mózg. Niemniej jest ona bardzo przydatna do rozpoznawania obiektów w świecie zewnętrznym, ponieważ ich kolor ma tendencję do pozostawania stałym w różnych warunkach oświetlenia i przypuszczalnie dlatego umiejętność mózgu do percepcji kolorów wyewoluowała właśnie w taki sposób.

Moje twierdzenie mówi, iż liczba jest bardzo podobna do koloru. Dzięki temu, że żyjemy w świecie pełnym oddzielnych i ruchomych przedmiotów, to umiejętność posługiwania się ekstrakcją liczb jest przydatna. Może nam ona pomóc śledzić drapieżniki lub wybierać najlepsze tereny łowieckie, żeby wymienić kilka oczywistych przykładów. To dlatego ewolucja obdarzyła nasze mózgi i mózgi wielu innych gatunków prostymi mechanizmami liczbowymi. U zwierząt mechanizmy te są bardzo ograniczone jak przekonamy się o tym za chwilę: są one aproksymowane, ich przedstawienie staję się gorsze jakościowo wraz z większymi liczbami i zawierają tylko najprostsze operacje arytmetyczne (dodawanie i odejmowanie). My — ludzie, mieliśmy niezwykle wielkie szczęście, że rozwinęliśmy umiejętności potrzebne dla języka oraz dla zapisu symbolicznego. To umożliwiło nam rozwinięcie dokładnych reprezentacji umysłowych dla wielkich liczb, jak również dla algorytmów korzystających z precyzyjnych kalkulacji. Uważam, iż matematyka, lub przynajmniej arytmetyka i teoria liczb, jest piramidą coraz bardziej abstrakcyjnych konstrukcji umysłowych bazujących jedynie na a) naszej zdolności do zapisy symbolicznego i b) naszej niewerbalnej umiejętności reprezentowania i rozumienia wielkości numerycznych.

To tyle, jeśli chodzi o filozofię, ale jakie są właściwie dowody dla słuszności tych twierdzeń? Psycholodzy zaczynają uświadamiać sobie, że wiele z naszego życia umysłowego spoczywa na operacjach przeznaczonych do tego i biologicznie zdeterminowanych modułów umysłowych, które są specjalnie dostrojone do ograniczonych dziedzin wiedzy, a które zostały rozwinięte w naszych mózgach przez ewolucję (patrz, Steven Pinker — „Jak działa umysł"). Przykładowo wydaje się, że posiadamy wiedzę specjalistyczną z zakresu dziedzin takich jak wiedza o zwierzętach czy znajomość żywności, ludzi, twarzy, uczuć i wielu innych rzeczy. W każdym przypadku — i liczby nie są tu wyjątkiem — psycholodzy demonstrują istnienie systemu wiedzy specjalistycznej używając poniższych czterech argumentów:

• Trzeba udowodnić, że posiadanie z góry wiedzy z jakiejś dziedziny przyczynia się do ewolucyjnej przewagi. W przypadku arytmetyki elementarnej jest to całkowicie oczywiste.

• A zatem powinni się znaleźć prekursorzy tej umiejętności u innych gatunków zwierząt. Stąd wniosek, że niektóre zwierzęta powinny mieć rudymentarne zdolności arytmetyczne. Powinny istnieć systematyczne paralele pomiędzy ich umiejętnościami a tymi istniejącymi u ludzi.

• Umiejętność ta powinna pojawiać się spontanicznie u młodych dzieci lub nawet niemowląt niezależnie od innych umiejętności takich jak język. A więc nie trzeba by ich było nabywać drogą mozolnego uczenia się zgodnie z mechanizmem nabywania jakichś umiejętności.

• Zdolność ta powinna posiadać osobne nerwowe zakotwiczenie. Moja książka „The Number Sense" („Zmysł liczb") została poświęcona udowodnieniu tych czterech argumentów, jak również odkrywaniu ich konsekwencji dla edukacji i filozofii matematyki. W rzeczywistości rzetelne dowody doświadczalne potwierdzają powyższe twierdzenia, czyniąc domenę liczb jednym z obszarów, w którym demonstracja biologicznie zdeterminowanego systemu wiedzy ścisłej jest najlepsza. Tutaj mogę przytoczyć kilka eksperymentalnych przykładów.

1. Zwierzęta posiadają elementarne zdolności numeryczne. Szczury, gołębie, papugi, delfiny i oczywiście naczelne umieją rozróżnić wzory wizualne oraz sekwencje słuchowe bazujące jedynie na liczbie (każdy inny parametr fizyczny jest dokładnie kontrolowany). Przykładowo, szczury mogą nauczyć się naciskać jedną dźwignię dla dwóch zdarzeń a inną dla czterech zdarzeń, niezależnie od ich natury, czasu trwania, odstępu, tego czy są słuchowe bądź wzrokowe. Zwierzęta posiadają także elementarne zdolności dodawania i odejmowania. Te podstawowe umiejętności możemy spotkać w stanie dzikim, nie tylko u laboratoryjnie tresowanych zwierzętach. Jednakże potrzebne są lata treningu jeśli ktoś chce wpoić symbole liczbowe szympansom. Więc przybliżone manipulacje liczbowe są w zasięgu repertuaru wielu gatunków, ale nie są to ścisłe manipulacje symbolami liczb. Jest to specyficznie ludzka umiejętność lub przynajmniej taka, która osiąga pełnię rozwoju tylko u ludzi.

2. Istnieją systematyczne paralele pomiędzy ludźmi a zwierzętami. Zwierzęce zachowania liczbowe stają się bardziej nieprecyzyjne dla większych liczb (efekt wielkości liczby). To samo odnosi się do ludzi, choćby jeśli wykonujemy matematyczne operacje liczbami arabskimi: jesteśmy sukcesywnie powolniejsi obliczając ile jest 4+5 niż 2+3. Zwierzęta także mają problemy z rozróżnianiem dwóch bliskich wielkości takich jak 7 i 8. My także: kiedy porównujemy cyfry arabskie, to zdecydowanie dłużej zastanawiamy się, czy 9 jest większe niż 8, niż podjęcie tej samej decyzji przy parze 9 i 2 (robimy przy tym także więcej błędów).

3. Niemowlęta w okresie prewerbalnym posiadają także elementarne zdolności liczbowe. Są one podobne do tych występujących u zwierząt: niemowlęta mogą rozróżnić dwa wzory bazując jedynie na ich liczbie, tu mogą wykonywać proste dodawanie i odejmowanie. Przykładowo, pięciomiesięczne dziecko gdy patrzy na ekran i widzi, że jeden obiekt jest schowany za ekranem a drugi jest dodawany do niego, to spodziewa się dwóch obiektów kiedy ekran spada. Wiemy to, ponieważ dokładne pomiary czasu ich spoglądania pokazują, że dzieci patrzą dłużej, gdy trik ukazuje inną liczbę przedmiotów. Dłuższy czas spoglądania wskazuje na to, iż dzieci są zaskoczone kiedy widzą niemożliwe zdarzenia takie jak 1+1=1, 1+1=3 lub 2-1=2 (nawet jeśli jesteście sceptyczni, to proszę nie odrzucajcie tych obserwacji machnięciem ręki jak zrobił to Martin Gardner w recenzji mojej książki dla „The Los Angeles Times", czym wprawił mnie w konsternację; pewnie, że „mierzenie i uśrednianie takich czasów nie jest łatwe", lecz jest wykonywane w ściśle kontrolowanych warunkach z nagrywaniem na video metodą double-blind; polecam czytelnikom przeczytanie oryginalnych raportów (dla przykładu Wynna, 1992, „Nature", tom 348, str. 749-750) będziecie zdumieni ilością zaobserwowanych szczegółów i precyzją kontroli nad doświadczeniem przy tego typu eksperymentach).

Tak samo jak zwierzęta i dorośli, niemowlęta są szczególnie precyzyjne przy małych liczbach, ale większe liczby mogą obliczać w przybliżeniu. Nawiasem mówiąc, zauważmy, że te eksperymenty, które są powtarzalne obalają argument Piageta o tym, iż niemowlęta zaczynają życie bez żadnej wiedzy o niezmienności numerycznej. W mojej książce pokazuję dlaczego słynne konwersacyjne eksperymenty Piageta są stronnicze i zawodzą w ukazaniu prawdziwej arytmetycznej kompetencji małych dzieci.

4. Uszkodzenia mózgu mogą osłabić zmysł liczbowy. Razem z moimi kolegami widzieliśmy wielu pacjentów w szpitalu, którzy cierpieli z powodu uszkodzenia mózgu i w konsekwencji stali się niezdolni do wykonywania obliczeń. Niektóre z tych deficytów są peryferyjne i dotyczą umiejętności identyfikacji wyrazów lub cyfr, lub ich wypowiedzenia na głos. Jednakże pozostałe wskazują na prawdziwą utratę zmysłu liczbowego. Uszkodzenia lewego płatu ciemieniowego dolnego mogą spowodować u pacjenta możliwość czytania i pisania liczb arabskich pod dyktando z jednoczesnym brakiem ich rozumienia. Jeden z czterech pacjentów nie mógł wykonać odejmowania 3-1, lub zdecydować jaka liczba powinna występować pomiędzy 2 a 4! Nie miał jednak żadnych problemów z powiedzeniem jaki miesiąc występuje pomiędzy lutym a kwietniem lub jaki dzień był przed środą. Więc deficyt ograniczał się tylko i wyłącznie do liczb. Obszar uszkodzenia, który przynosi taki deficyt zmysłu liczbowego może występować we wszystkich kulturach na świecie.

Po przeczytaniu tego tekstu, czytelnicy często wybierają też: Efekt Quantum Leap – tworzenie iluzji zamiany ciał Tajemnica świadomości

Zobacz komentarze (13)..

Wyślij mailem..

Wersja do druku    PDF    MS Word

Stanislas Dehaene Ur. 1965. Matematyk oraz kognitywny neuropsycholog a także profesor College de France. Jest badaczem w Institut National de la Santé. Wykłada neuropsychologię poznawczą języka i przetwarzanie liczb przez mózg. Autor książki „The number sense”.  Strona www autora