Moim zdaniem, Wszechświat nie musi "posiadać" racjonalności rozumianej
jako żadne z powyższych (ani innych definicji). Nie musi posiadać
również żadnych cech które racjonalność w jakikolwiek sposób by implikowały.
To że wydaje nam się ze wszechświat takie cechy posiada prościej można wyjaśnić (nie mnożąc bytów) ograniczeniami naszych zdolności poznawczych.  Wszechświat
niczego nie musi mieć (w tym sensie ze pewne prawa mogą się nam jawić jako prawa deterministyczne ponieważ nasz ogląd całości jest ograniczony), wystarczy że my mamy pewne ograniczenia które wprowadzają nas w błąd.
Jak jest empirycznie dowieść się nie da...choć badania naukowe sugerują raczej ograniczony charakter możliwości poznawczych człowieka.

>"Wszechświat nie byłby poznawalny bez pewnej cechy, która sprawia, że można go
racjonalnie (bo jak inaczej) badać. Ponadto, aby istniejące istoty mogły badać
Wszechświat, muszą same być racjonalne, a ich racjonalność musi odpowiadać
racjonalności Wszechświata, jakoś z nią współgrać".

W tym miejscu autor traktuje jako aksjomat hipotezę, która jest mocno dyskusyjna, dalszy wywód jest obarczony tym błędnym (moim zdaniem) założeniem wyjściowym.

Ponieważ autor nie zdefiniował jak rozumie racjonalność chciałbym zwrócić uwagę, że mamy w obiegu co najmniej 3 mocno sprzeczne definicje racjonalnosci. [1] racjonalizm (filozoficzny) -pominięcie empirii, [2] racjonalizm (światopoglądowy) - kładący nacisk na empirię i metodę naukową jako źródło poznania świata, [3] racjonalność - działanie jest racjonalne wówczas kiedy osiąga założony cel (w obrębie dowolnego sytemu światopoglądowego).

Może nie wprost, ale artykuł ten nawiązuje do starego filozoficznego sporu platonizm - arystotelizm. Czy odkrywamy równania, czy je tworzymy? Heller, na którego powołuje się Autor, jest platonikiem. Ale chyba na przykład Lem w Bombie megabitowej czy Quine w Dwóch dogmatach empiryzmu, są arystotelikami. Świat wcale nie musi być racjonalny czy badalny matematycznie, a my to tylko zauważyliśmy, odkryliśmy plan. Może być i tak, że my tylko wytworzyliśmy sobie narzędzia, w postaci języka czy matematyki, żeby przetrwać.

http://www.Może za nasze odczucia i wrażenia zmysłowe odpowiada program komputerowy napisany przez jakieś wyższe istoty, a my sami, podobnie jak nasze wrażenia i cały nasz Wszechświat, jesteśmy częścią tego programu. Nie mamy żadnej możliwości empirycznego stwierdzenia, czy tak jest w istocie.
Z doswiadczenia wiadomo ze kazdy, bardziej skomplikowany  program komputerowy posiada "bugs". Wobec tego by sprawdzic czy zyjemy w swiecie numerycznym wystarczy szukac bledow w tymze programie.. Tak jak w fizyce szuka sie nowych efektow poprzez testowanie minimalnych odchylen od ustalonych i zazwyczaj dobrze funkcjonujacych praw.

Nie mam teraz siły policzyć, ale chyba by były tylko nieco obracającymi się elipsami, trochę podobnie do orbity Merkurego, która rzeczywiście się obraca (z innych powodów).

> w
mechanice kwantowej. Wbrew temu, co piszą autorzy książek
> popularnonaukowych, teoria ta daje przewidywania w
pełni
> deterministyczne, a
dopiero ontologiczna interpretacja
> tych przewidywań daje losowość i
indeterminizm.

O ile pamiętam jakieś ćwiczenia z mechaniki kwantowej, to w tej teorii cząstka jest falą prawdopodobieństwa (przecież właśnie stąd są skoki takich cząstek przez płoty większe od nich) i do końca nie wiemy jak się zachowa. Weźmy za przykład doświadczenie z interferencją _jednego_ fotonu. Nie wiemy w jakim kierunku poleci za szczeliną.
Inherentna losowość Wszechświata przejawia się też w niestabilnych punktach orbit (albo w trudności stania równo na czubku górki) i w zasadzie Heisenberga.

> ... jak silne warunki musi spełniać Wszechświat, by
> być badalnym metodami matematycznymi.

A jak silne warunki musiałby spełniać żeby matematyzacja świata _nie_ była możliwa! Myślę, że żeby tak było musiałby być bardzo skomplikowany i nieprzewidywalny. Miałby na to szanse chyba tylko świat stworzony przez jakiegoś boga i wręcz cały czas przez niego ręcznie sterowany.
Świat, który powstaje w prostszy sposób sam też jest prosty, chociaż z prostych zasad mogą wynikać skomplikowane konsekwencje (dlatego Theory of Everything nie będzie ostatecznym rozwiązaniem, tylko jego skromnym początkiem; przy okazji: niedawno w świecie nauki czytałem tekst znanych fizyków, który powątpiewają w możliwość ostatecznej unifikacji oddziaływań, myślę jednak, że przesadzają).

> Mózg ludzki, jak każda sieć neuronowa, ma skończoną pamięć
> oraz moc obliczeniową, więc niektóre struktury mogą być
> dla nas po prostu zbyt skomplikowane.

Już tak jest. Było jakieś ważne twierdzenie matematyczne niemożliwe do udowodnienia przy pomocy samej głowy bez komputerowej protezy.

> Gdyby jednak wykładnik potęgi przy odległości
> nie był równy 2, ale 2,01, orbity te byłyby tak skomplikowane,
> że raczej nikt nie zauważyłby w
nich żadnej prawidłowości.

c.d.n.

Już mniej mnie dziwi swoboda asymptotyczna niż falowe zachowanie dyskretnych elementów.

Fizyka opisuje jedynie cechy ilościowe pewnych zjawisk, przy pomocy przybliżonych (jak napisałeś) formuł.
Po prostu ktoś zauważył wśród bytów matematycznych takie, których wartości/wizualizacja/itd pasują do wzorców obserwowanych w świecie. Ziemia ani księżyc nie wyliczają sobie co chwila z równań teorii względności miejsca, do którego powinny za chwilę się udać;)
Chwała fizykom, za te "skojarzenia" formuł z wzorcami, np dla pola Elektro-magnetycznego, ale wciąż do nie wiemy co tam sobie faluje. Wiemy jaki to falowanie ma wzorzec w zależności od różnych czynników, ale nie wiemy co to do cholery jest;P